Sur un cercle en expansion, dont le centre reste fixe, un point du cercle suit un trajet uniquement dû à l'expansion : ce trajet sera une portion de demi-droite rayonnante.

Soient deux époques différentes, U(n) et U(n+1), de l'expansion, et deux galaxies A et B. Comment concevoir la distance qui les sépare ?

Une première idée serait de considérer l'angle au centre que forment leurs trajets, s'il était possible de le mesurer. Nous y reviendrons.

L'effet Doppler et l'utilisation de l'année-lumière comme unité vont nous permettre une autre approche.

Soit la galaxie A de U(n) qui devient A' en U(n+1).

A' reçoit un rayon lumineux émanant de B qui est  en U(n). B devient B' dans U(n+1).

L'observateur en A' , utilisant les transformations physiques de la lumière, évalue la distance BA' à k années-lumière. Il dira que B se trouve à k années-lumière de A' (k al)

Il ne s'agit pas des distances BA ou B'A', qui n'ont aucune signification, n'étant pas liées à la lumière et posant la question de la simultanéité de l'existence des deux objets.

En deux dimensions plus le temps, tous les points situés ainsi à k al de A' forment sur U(n) ( qui est le passé) un cercle centré sur l'axe AA'

En trois dimensions plus le temps, soit notre Univers, il s'agira d'une sphère centrée sur l'observateur, dont le rayon sera de k al, plongeant dans le passé.

Un exemple : la supernova de 1987

Les distances proportionnelles à l'âge

Considérons notre Galaxie en A et deux autres galaxies, en B et C. (Figure)

Au temps U15, où nous nous trouvons, A "voit" B distant un milliard d'années-lumière. Elle voit C distant de 5 milliards d'années lumière.

Notre dessin faisant intervenir la spirale de la marche de la lumière, montre que dans le passé, au dixième milliard d'années, A voyait B à l'âge de 9,3 milliards d'années (distant de 0,7 milliards d'années ).

De même pour C. Notre Galaxie A voit aujourd'hui C au dixième milliard ( distance 5 Gal), mais dans le passé, au dixième milliard, A voyait C à l'âge de 6,6 milliards d'années (distance 3,4 Gal)

Ces distances en années-lumière sont proportionnelles aux durées de l'expansion, soit 15 et 10.

Voyons l'autre façon d'étudier les distances entre les galaxies. Le dessin de la spirale nous permet de mesurer l'angle au centre formé par l'arc AB ou AC.

Ainsi AB mesure approximativement 24° d'angle pour une distance, à partir de nous, de un milliard d'années-lumière. AC mesure 143° pour 5 milliards d'années-lumière.

On remarque que, pour ce qui concerne la mesure de l'angle au centre, la proportionnalité n'est pas respectée.