ANNEXE à la fiche 6  

Les distances sur la spirale

Par Pierre ODRU

Position du problème :

Décrire le comportement d’un mobile qui se déplace à vitesse constante sur une sphère dont le rayon se dilate à une deuxième vitesse constante.

Méthodologie :

Ce problème peut se résoudre en coordonnées polaires (r,j). N’importe quel point du plan peut être atteint par ce type de coordonnée. Il est pratique et recommandé pour décrire des courbes autour d’un point central, tel qu’ellipse, cercle, hyperbole. Un cercle s’écrit par exemple

R = constante, j variant de 0 à 2p

Résolution du problème :

Pendant un temps dt infiniment petit, le rayon se dilate de :  dR = v dt,   avec v vitesse d’expansion du rayon de la sphère. Alors que pendant ce temps le rayon lumineux émis voyage perpendiculairement (sur la surface de la sphère) de :  R dq = c dt,  c vitesse de la lumière.

On élimine dt entre les deux équations, et l’on trouve l’équation différentielle :

dR/R = (v/c) dq

qui se résout en :                                       Log R = aq + A     en posant a = v/c.

Si q = 0, on pose R = R0, et l’on tire :         R = R0 exp (aq)

Cas particulier : le périmètre de la sphère grandit à la vitesse c ; le rayon grandit alors à la vitesse v = c/2π, on a alors α = 1/2π  et l’équation de la courbe devient : R = R0 exp ( θ/2π )

Distances associées :

La longueur d’un arc élémentaire de courbe est donnée par : 

Remplaçant α par sa valeur :          ds = dR

Entre deux points consécutifs de son trajet compris entre les cercles de rayon R1 et R2, le mobile parcourt apparemment une trajectoire de longueur  (R2 – R1).